4 comments to “Hello 世界!”

  3. 自然對數 e
    ============

    lim (1+1/n)^n 存在的條件有
    n→∞
    1.遞增
    2.有上限==>存在一個常數c s.t. lim (1+1/n)^n < c n→∞ => lim (1+1/n)^n存在,以英文字母”e”表示之,e稱為自然對數
    n→∞

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    > > 建議你去書局找一本書：『毛起來說 e』
    > > 講得很詳細
    > 可以舉要說明嗎 ?

    e是由利率那問題產生的…..
    用複利計算錢…
    若一年複利t次，期利率為r/t 則一年後本利和為p(1+r/t)^t
    若每月複利一次 t=12
    每日複利一次 t=365
    當時就有人想那複利無限多次不是就是無限多錢…

    就去考慮 lim p(1+r/t)^t=？
    t趨近無限大
    若我們當r=1 跟p=1 則算出來為2.7182…..並非無限大…
    後來就定2.7182…為e

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    : > 建議你去書局找一本書：『毛起來說 e』
    : > 講得很詳細
    : 可以舉要說明嗎 ?

    一個銀行以複利計算 假定一年的年息=100%=1
    如果本金一元 以半年為一期 一年後可得 (1+(1/2))^2
    如果將一年分成無限多期 那一年後就得 lim(n->無限大）(1+(1/n))^n=e

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  4. > 我現在只知道 e^x=1+x+x^2/2!+…

    這是Taylor series的寫法，真正最原始的定義是

    e = lim_{n -> \infty}(1 + 1/n)^n
    或
    e = lim_{x -> 0}(1 + x)^(1/x)

    > 他在數學上及物理上的意義是？？

    最簡單的想法是e是無時無刻不斷在複利的結果
    在物理上最常見的是變化率和變數成比例，如

    dx/dt = x —> x = Ke^t

    常見的系統包括化學反應、機械運動、電路學等
    —
    如果有一個關係式
    y(x)=b^x
    則我們可以說,以b為底的對數y為x
    現在假設一個比x大一點點的數x+x’
    將它代入上式,則會得到y(x+x’)=(b^x)(b^x’)

    所以這個指數函數的導數可以表示成
    lim (y(x+x’)-y(x))/x’ = lim b^x(b^x’-1)/x’
    x’->0 x’->0

    ===> b^x lim (b^x’-1)/x’
    n->0

    接著,數學家們發現,如果能找到某個數b使得lim (b^x’-1)/x’ ==1
    n->0

    那這個指數函數將會很自然,簡化

    而b經由一些數學技巧可以求得剛好為e

    至於為何叫作”自然”對數,我想,最主要的原因是在自然界中
    有許多與e有關的事物,而數學上,e的用途也很常見
    在自 然界中,如螺線,音程還有積分1/x從1積到x的面積為lnx等等
    都和e脫離不了關係,如果想知道更多有關e的故事
    有一本極好的書,毛起來說e,天下文化出版,倒是可以參考看看

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